دفتر ریاضی

پارادوکس

من یک مهرانی هستم . اگر الان به شما بگویم که تمام مهرانی ها دروغگو هستند ، چه نتیجه ای می گیرید ؟ طبیعتا شما با خودتان فکر می کنید که ، خب چون تمام مهرانی دروغگو هستند پس آقای قنبری هم به عنوان یک مهرانی دروغگو است و حرفی که زده دروغ است پس مهرانی ها راستگو هستند ! اما از آن طرف چون آقای قنبری راستگو هست پس راست گفته که مهرانی ها دروغ گو هستند !  

 آخرش مهرانی ها دروغگو هستند یا راستگو ؟ گیج شدید ، نه ؟ برای حل این قضیه باید با مفهومی به نام پارادوکس آشنا بشویم .

  واژه ی پارادوکس ( Paradox ) از كلمه ی ‌لاتینی‌ Paradoxum برگرفته ‌شده ‌‌و Paradoxum خود مركب ‌از Para به ‌معنی ‌مخالف ‌و مقابل ‌و doxa به ‌معنی ‌رأی ‌و اندیشه ‌است ‌. در فارسی پارادوکس را به قیاس ضد و نقیض ، ناسازنما ، باطل نما و متناقض نما ترجمه می کنند . دلیل استفاده از متناقض نما این است که در ظاهر با تناقضی روبه‌رو هستیم که اصل یا اصول علمی را زیر سوال برده است ؛ در حالی که به واقع این گونه نیست و به دلیل اشتباه در فرض، تحلیل یا برخورد ، چنین تناقضی پیش آمده است.

پارادوکس گاهی به اشتباه به معنای تناقض ( Contradiction ) نیز به کار برده می شود . پرکاربردترین نمونه‌های آن را می‌توان در مسائل ریاضی جستجو کرد. هنگامی که برای اثبات یک مسأله ریاضی از برهان خلف استفاده می‌کنیم، اصل روش بر مبنای تناقض بنا نهاده شده و تلاش ما بر این است با اشتباه فرض کردن حکم، یکی از اصول ریاضی را زیر سوال ببریم و به اصطلاح با آن به تناقض برسیم . مانند اثباتی که برای گویا نبودن رادیکال 2  ارائه می شود .

در منطق ، پارادوکس احکامی هستند که منجر به تناقض می شوند . یا با آنچه که ما مشاهده می کنیم مطابقت ندارند . مانند تصویر بالا . همه می دانیم که در منطق کلاسیک ریاضی گزاره به جمله ای خبری گفته می شود که یا درست است و یا نادرست ، و نمی تواند که همزمان هم درست باشد و هم نادرست . حالا این پارادوکس ها منطق ریاضی را به چالش کشیده اند ، چون ظاهرا هم درست اند و هم نادرست !

تاریخچه ی پارادوکس

مرغ اول به وجود آمد یا تخم مرغ ؟ آیا خداوند می تواند سنگ بزرگی خلق کند که قادر به بلند کردن آن نباشد ؟ اینها مطمئنا اولین پارادوکس هایی بوده اند که طی هزاران سال ذهن انسان را به خود درگیر کرده اند . پارادوکس ها اولین بار هزاران سال پیش در منطق یونان توسعه یافتند . اولین پارادوکسی که در منابع یونان باستان به آن اشاره شده است پارادوکس پروتاگورس ( 420 پیش از میلاد ) است . او اولین معلمی بود که برای تدرس پول دریافت می کرد . روزی دانشجویی به نام اوالقوس به سراغش آمد  و از وی درخواست کرد تا به او وکالت بیاموزد . آنها توافق کردند که نیمی از شهریه ابتدا پرداخت شود و نیم دیگر هنگامی که اوالقوس در نخستین دفاعیه‌ی خود در دادگاه پیروز شود زیرا موفقیت او ملاک آن بود که تدریس به خوبی انجام شده است . درس‌ها آغاز شد و اوالقوس اثبات کرد که شاگردی تیزهوش است . پس از اتمام دروس ، اوالقوس از پرداخت پول سرباز زد و در نتیجه پروتاگورس او را به دادگاه کشاند .  پروتاگورس به دادگاه گفت : «شما هر تصمیمی که بگیرد پول از آن من می‌خواهد بود زیرا اگر به نفع من رای دهید در آن صورت من برنده‌ی دعوا می‌شوم و پولم را می‌گیرم و اگر به زیان من رای دهید ، اوالقوس در نخستین دفاعیه ‌ی خود در دادگاه پیروز گردیده است و بر اساس توافق ما باید پول مرا بپردازد. پس در هر حال پول از آن من است».  دادگاه، پس از بررسی این ادعا ، هیچ نقصی در آن نیافت ولی از اوالقوس نیز خواستند تا اگر دفاعی دارد عنوان کند . اوالقوس گفت: « کاملا واضح است که من نباید پولی بپردازم زیرا اگر دادگاه محترم ، به نفع من رای دهد ، من دفاعیه را می‌برم و نیازی به پرداخت پول نخواهم داشت ، به عکس اگر پروتاگورس برنده شود من نخستین دفاعیه ‌ی خود را در دادگاه می‌بازم و بر اساس موافقت به عمل آمده دیگر لازم نیست پولی به او بپردازم. پس در هر حال ملزم به پرداخت پول نخواهم بود . از آنجا که هر دو مباحثه در ظاهر بی‌نقص به نظر می‌رسید ، دادگاه نتوانستند تصمیمی اتخاذ کنند ، در نتیجه به هر دو مرد دستور دادند که بروند و صد سال بعد مراجعه کنند !

یکی دیگر از قدیمیترین و ماندگارترین معماها و پارادوکس های یونان باستان که ذهن های بسیاری را مشغول و عاجز کرده جمله ای منسوب به ائوبولیدوس است . " این جمله دروغ است " . حالا خودتان با این پارادوکس سر و کله بزنید و بگویید راست است یا دروغ !

از دیگر پارادوکس مشهور یونان باستان می توان به پارادوکس زنون ( 490 پیش از میلاد ) اشاره کرد .او برای دفاع از نظرات استادش پارمنیدس و رد نظرات فیثاغورثیان به بیان پارادوکسش پرداخت. او ادعا کرد که  حرکت و جابه جایی غیر ممکن است و آنچه که ما از جابه جایی میبینیم تنها خواب و خیال است ! استدلال و در حقیقت پارادوکس او به این شرح است : در صورتی که پاره خط بینهایت بار تقسیم پذیر باشد ، حرکت ناممکن است ، زیرا برای این که پاره خطی مانند AB را با شروع از نقطه A بپیماییم ، ابتدا باید به نقطه وسط آن یعنی C برسیم . برای این که AC پیموده شود ، باید به نقطة وسط آن یعنی D برسیم و ... . چون بینهایت نقطه وسط وجود دارد و ما به زمان بینهایتی نیاز داریم پس ما هیچ وقت نمی توانیم این مسافت را بپیماییم .

او یک مثال مشهور نیز ارائه کرد : در مسابقه دو بین آشیل ( قهرمان دو ) و لاک پشت ، آشیل که کمی عقب تر از لاک پشت است هرگز به او نمی رسد . زیرا آشیل ابتدا باید به نقطه ای برسد که لاک پشت از آنجا حرکت کرده است. اما وقتی به آنجا می رسد لاک پشت قدری جلوتر رفته است و همان وضعیت قبل روی می دهد و با تکرار این روند، گرچه آشیل به لاک پشت نزدیک می شود ولی هیچگاه به او نمی رسد .

پارادوکس راسل

مشهورترین پارادوکس ریاضیات ، پارادوکس راسل است . این پارادوکس توسط ریاضیدان و فیلسوف انگلیسی ، برتراند راسل در سال 1902 معرفی شد . این پارادوکس نشان می‌دهد که نظریه مجموعه های طبیعی فرگه که برپایهٔ کارهای جرج کانتور ، بنیان‌گذار نظریه مجموعه ها بود دارای تناقضاتی در درون خودش است. از سال 1895 که گئورگ کانتور برای نخستین بار نظریه مجموعه ها را به وجود آورد تا سال 1902 که پارادوکس راسل منتشر شد وجود مجموعه همه مجموعه ها (مجموعه جهانی مطلق ) فرضی مسلم بود. اما پارادوکس راسل اعلام کرد که : " مجموعه همه مجموعه ها وجود ندارد  " برای فهم بهتر این پارادوکس لازم است توضیحاتی ارائه دهیم . 

مجموعه همه ایده ها  خود یک ایده  است . امّا مجموعه همه مردها خود یک مرد نیست و یا مجموعه همه مجموعه ها خود یک مجموعه است ، امّا مجموعه همه ستاره ها خود یک ستاره نیست.

اکنون مجموعه همه مجموعه هایی را که عضو خودشان هستند با M و مجموعه همه مجموعه هایی را که عضو خودشان نیستند با N  نشان می دهیم . حال می پرسیم که آیا N عضو خودش است؟

اگر N عضو خودش باشد،آنگاه N به M تعلق دارد و لذا به N تعلق نداشته،یعنی عضو خودش نیست.از طرف دیگر اگر N عضو خودش نباشد ، آنگاه N عضوی ازN  بوده و به M تعلق ندارد و لذا N عضو خودش است.

پارادوکس بر این واقعیت استوار است که در هر حالت ما به تناقض می رسیم .

صورت ریاضی این پارادوکس به این شرح است :

فرض کنیم c مجموعه ی همه مجموعه ها باشد .

مجموعه ي A را به صورت

تعريف مي كنيم , اگر   چون   در نتيجه   كه تناقض است. اگر  چون  در نتيجه  كه تناقض است.

اگر بخواهیم پارادوکس راسل را به زبان عامیانه بیان کنیم ، می توانیم از مثال آرایشگر سیسیلی استفاده کنیم :

در سیسیل آرایشگری هست که تنها ریش مردانی را می تراشد که خودشان ریششان را نمی تراشند . حالا بگویید چه کسی ریش آرایشگر را می تراشد !

جالب است بدانید که راسل خودش دست به کار شد و سعی کرد با بیان نظریه ی انواع ، این پارادوکس را حل کند اما ناکام ماند .

پاسخ به پارادوکس ها :

با دقت در پارادوکس‌ها معمولاً مشخص می‌شود که یا از ابتدا تناقضی در مسئله وجود نداشته یا جوابی که در نگاه اول حیرت انگیز می‌نموده مشکل و تناقضی ندارد و یا اینکه فرضیات استفاده شده اصولا صحیح نبوده یا در کنار هم ناصحیح هستند.

مشکلی که پارادوکس زنون برای ریاضیات ایجاد کرد این بود که او به بررسی بینهایت در فضای محدودی پرداخته بود . ارسطو اولین نفری بود که تلاش کرد به این پارادوکس پاسخ دهد . اما تا زمانی که بینهایت به قلمرو ریاضیات نیامد این پارادوکس ریاضیدان ها را آزار می داد . البته این پارادوکس بعدها منجر به تحولات بزرگی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سری های واگرا به صفر شد .

یک اشتباه دیگر زنون در استدلال این است که وی گمان می‌کرد که جمع هر تعداد نامتناهی از اعداد مثبت خود یک مقدار نامتناهی است! در صورتی که ما میدانیم جمع هر تعداد نامتناهی از اعداد مثبت، لزوما یک مقدار نامتناهی نیست!  این دقیقا همان چیزی است که ما به عنوان حد مجموع ( سری ) می شناسیم . در حقیقت او خواصی را که برای جمع تعداد متناهی از اعداد معتبر است به جمع تعداد نامتناهی از اعداد تعمیم داده بود .

بعضی از پارادوکس ها به این دلیل پدید می‌آیند که قواعد شفاف و دقیقِ منطق کلاسیک را به کلمات ذاتا مبهمِ زبان طبیعی اعمال کرده‌ایم . حال یا باید بگوییم زبان انسان ایراد دارد و ابهام یک ضعف است، و یا اصالت را به زبان داده و بگوییم زبان هرچه هست به همین صورت درست است، این منطقِ کلاسیک است که ایراد دارد .  دراین‌صورت باید منطقی بسازیم که در آن گزاره‌ها بتوانند ابهام داشته باشند ، یعنی گاهی نه صددرصد درست و نه صددرصد نادرست باشند، بلکه ارزشی بینابین را اختیار کنند . به این نوع منطق منطق فازی گفته می‌شود.

یکی دیگر از راه حل‌هایی که برای حل این پارادوکس‌ها پیشنهاد شده  این است که در هیچ زبانی حق صحبت درباره درستی یا نادرستی گزاره‌های خود آن زبان وجود ندارد . در نظریه مجموعه‌ها این حرف معادل آن است که هیچ مجموعه‌ای نمی‌تواند عضوِ خودش باشد .

فواید پارادوکس ها :

در تاریخ ریاضیات پارادکس‌ها بیشتر در نقش اصلاح کننده‌ی نگرش ریاضی‌دانان نسبت به برخی مفاهیم ریاضی ظاهر شده‌اند . چرا که یک پارادکس برای آنها نشان دهنده وجود اشتباهی در تعاریف ، گزاره‌ها یا روش استنتاج آن‌ها بوده است ، و آنان را به این فکر انداخته است تا پرده از این اشتباه بردارند ؛ و در حقیقت به ثمر رسیدن این تلاش است که منجر به اصلاح آن نگرش اشتباه می‌شود .

پارادوکس راسل اولین عامل برای برانگیختن تلاش ریاضیدانان در جهت اصل موضوعی کردن نظریه مجموعه ها بود . حتی اگر به قبل تر برگردیم می تون گفت که اعداد گنگ و قسمت زیادی از نظریه اعداد مدیون پارادوکس ها هستند . هدف از مطالعه پارادكسها و تلاش براي حل آنها ، دفاع از عقلانيت است.

به طور خلاصه می توان فواید زیر را برای پارادوکس ها بیان کرد :

1 . ایجاد انگیزه برای گسترش مرزهای دانش

2 . تعمیق بینش

3 . تعمیم شیوه های استدلال

4 . افزایش دقت

5 . وضع قوانین زبان شناختی جدید .

انواع پارادوکس :

ویلیام کواین پارادوکس‌های منطقی را به سه دسته تقسیم کرد:

1 . پارادوکس‌های حقیقی

پارادوکس‌های حقیقی به ما نتایجی را ارائه می‌دهند که هر چند در وحله اول مهمل، عجیب یا غیر منتظره به نظر می‌رسند ولی در واقع صحیح هستند و هیچ خلل یا ناهماهنگی در فرضیات یا استدلالات آنها وجود ندارد. از این دسته پارادوکس‌ها می‌توان به پارادوکس روز تولد، پارادوکس جنسیت و مسئله سه کارت اشاره کرد.

2 . پارادوکس‌های مجازی

پارادوکس‌های مجازی پارادوکس‌هایی هستند که نه تنها مهمل به نظر می‌رسند بلکه در واقعیت نیز فرضیات یا استدلالات استفاده شده در آنها ناصحیح است. پارادوکس اسب‌ها یا مسائلی که در انتها نتیجه‌ای مانند ۱ = ۲ می‌دهند از این دسته‌اند.

3 . تناقض

پارادوکس‌هایی که در هیچکدام از دسته‌های فوق نباشند معمولاً تناقض هستند. این دسته از پارادوکس‌ها با استفاده از اصول پذیرفته شده منطق ما را به نتایجی می‌رسانند که با هم متناقض هستند. از این دسته پارادوکس‌ها می‌توان به پارادوکس اعدام غیر منتظره اشاره کرد.

بعضی اوقات دسته چهارمی برای پارادوکس‌ها استفاده شده‌است:

تناقض صحیح

مشهوترین پارادوکس ها :

پارادوکس سقراط 
نقل شده است که ســـــقراط روزی گفته است: چیزی که می دانم این اسـت که من هیـچ چیز نمی دانم .

پارادوکس دروغگو یا پارادوکس ائوبولیدس

پارادوكس اژدها

پارادوکس خداوند قادر مطلق

آیا خداوند می تواند سنگی بسازد که نتواند بلند کند؟

پارادوکس مربع گمشده

در شکل زیر مربع گمشده کجاست ؟

پارادوکس دار غیرمنتظره 

پارادوکس بوچوفسکی
فرض کنید شما فقط دو برادر دارید که هر دو از شما مسن تر هستند . در این صورت جمله به ظاهر غلط زیر ، راست است:
برادر جوانترم از من مسن تر است !

نکته جالب این است که اگر ما دارای یک نوع منطق سه ارزشی باشیم که در آن گزاره ها بتوانند فقط یکی از ارزشهای راست، دروغ و نه راست ـ نه دروغ را داشته باشند آنگاه گزاره P  به صورت P دروغ یا نه راست ـ نه دروغ است نمی تواند هیچیک از ارزشهای راست ، دروغ و نه راست نه دروغ را به خود بگیرد .

پارادوکس جزیره وحشی ها

در جزیره ای قبیله ای وحشی زندگی می کردند که دو خدا، خدای راستی و خدای دروغ داشتند. آنها هر کس را که به جزیره می آمد قربانی می کردند، به این ترتیب که از وی سوالی می پرسیدند، اگر راست می گفت او را قربانی خدای راستی و اگر دروغ می گفت، او را قربانی خدای دروغ می کردند. روزی شخصی وارد جزیره شد. او را گرفتند و از او پرسیدند سرنوشت تو چه خواهد بود؟ آن شخص جواب داد شما من را قربانی خدای دروغ خواهید کرد. با این جواب وحشی ها مستاصل شدند زیرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ باید هم قربانی خدای راستی شود و هم قربانی خدای دروغ!

پارادوکس تابلو

تابلوئی داریم که در یک طرف آن جمله پشت این تابلو راست است. و در طرف دیگر آن جمله پشت این تابلو دروغ است. نوشته شده است!

پارادوکس توده 

یک دانه گندم یک توده گندم نیست. با اضافه کردن یک دانه گندم، به دو دانه دست می یابیم که باز هم توده گندم نیست. با اضافه کردن یک دانه گندم دیگر، سه دانه گندم خواهیم داشت که توده محسوب نمی شود. اگر این عمل را تکرار کنیم، هیچگاه به توده گندم نمی رسیم . اما زمانی که این گردایه گندم به قدر کافی بزرگ شود ، توده نامیده می شود .

پارادوکس لامپ تامسون 

لامپی به مدت یک دوم دقیقه روشن می شود، سپس برای یک چهارم دقیقه خاموش می شود، به مدت یک هشتم دقیقه روشن می‌شود و ... . درست بعد از یک دقیقه لامپ روشن خواهد بود یا خاموش؟

پارادوکس ریچارد 

آیا کوچکترین عدد طبیعی که نتوان آن را با کمتر از صد حرف فارسی نمایش داد وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبیعی نا متناهی و تعداد حروف فارسی متناهی است پس عددی وجود دارد که نمی توان آن را با عبارتی شامل کمتر از صد حرف فارسی تعریف کرد. بنا به اصل خوش ترتیبی در اعداد طبیعی، کوچکترین عدد طبیعی که نتوان آن را با کمتر از صد حرف فارسی نمایش داد وجود دارد . اما عبارت بالا که بین دو نماد و قرار دارد کمتر ار صد حرف ( یعنی پنجاه و سه حرف ) دارد، یعنی عدد ارائه شده با کمتر از صد حرف فارسی تعریف شد!

پارادوکس آرایشگر یا پارادوکس راسل 

در دهکده ای فقط یک آرایشگر وجود دارد. او فقط ریش کسانی را می تراشد که ریش خود را نمی تراشند. سوال این است که ریش خود ریش تراش را چه کسی می تراشد؟ اگر او ریش خود را نتراشد، باید نزد ریش تراش یعنی خودش، برود تا ریشش را بتراشد و اگر ریش خود را بتراشد، نباید توسط ریش تراش یعنی خودش، ریشش تراشیده شود.

پارادوکس فهرست 
کتابداری در حال تدوین یک فهرست کتابشناسی از تمام فهرستهای کتابشناسی و تنها آنهایی است که نام خود را در فهرست ذکر نکرده اند. آیا فهرست این کتابدار، نام خودش را نیز در بر می گیرد؟

خود ناتوصیف، کلمه ای است که خودش را توصیف نمیکند. پس کلمة خود ناتوصیف خود ناتوصیف است اگر و فقط اگر خود ناتوصیف نباشد .

پاردوکسهای زنون
در صورتی که پاره خط بینهایت بار تقسیم پذیر باشد، حرکت ناممکن است، زیرا برای این که پاره خطی مانند AB را با شروع از نقطه A بپیماییم، ابتدا باید به نقطة وسط آن  C برسیم. برای این که AC پیموده شود، باید به نقطه وسط آن D برسیم و ... . پس نمی توان حتی از نقطه A حرکت کرد .

A---D---C-------B 

در مسابقه دو بین آشیل تندرو و لاک پشت کندرو، آشیل که کمی عقب تر از لاک پشت است، هیچگاه به او نمی رسد. زیرا ابتدا باید به نقطه ای برسد که لاک پشت از آنجا حرکت کرده است. اما وقتی به آنجا می رسد لاک پشت قدری جلوتر رفته است و همان وضعیت قبل روی می دهد و با تکرار این روند، گرچه آشیل به لاک پشت نزدیک می شود ولی هیچگاه به او نمی رسد. A------------T------
 

پارادوکس نیوکام
فرض کنید دو جعبه A و B داده شده باشد. سر جعبه A باز و سر جعبه B بسته باشد. A شامل 1000  دلار و B شامل 1000000 دلار است و یا شامل هیچ چیز نیست. شما باید فقط جعبه B را انتخاب کنید و یا هر دو جعبه A و B را. اما قبل از این که شما انتخاب خود را انجام دهید، پیشگویی بر اساس انتخابی که شما انجام خواهید داد در جعبه B و 1000000 دلار قرار می دهد اگر شما فقط جعبه B را انتخاب کنید و هیچ چیز نمی گذارد اگر شما هر دو جعبه A و B را انتخاب کنید.
سوال: اگر شما به انتخاب فقط  B تمایل داشته باشید، می توانید A را نیز انتخاب کنید؟

پارادوكس باناخ ـ تارسكي
باناخ و تارسكي در 1924 به كمك اصل انتخاب ثابت كردند كه مي توان با برش يك گوي (پرتغال) به شش قطعه، ايجاد حركات صلب ( يعني دوران و انتقال ) و دوبار چساندن آنها دو گوي ( پرتغال ) هم اندازه اولي به دست آورد. در 1944 ر. م. رابينسون تعداد قطعات را از شش به پنچ تقليل داد .

منابع :

http://mathworld.wolfram.com/PowerSet.html

http://www.daneshju.ir