دفتر ریاضی

2. بحران دوم ( قرن هفدهم ) ؛ دردسرهای حساب دیفرانسیل و انتگرال !

دومین بحران در مبانی ریاضیات با کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن و لایب نیتز در اواخر قرن هفدهم پدید آمد . با وجود استفاده از توان و کاربردپذیری این وسیله ی جدید ، پیروان این دو دانشمند نتوانستند استحکام و درستی اصولی را که این تئوری بر آنها استوار بود بررسی کنند و به جای اینکه اصول گواه بر درستی نتنایج باشد ، با استفاده از نتایج ، درستی اصول مورد تحقیق قرار می گرفت . در واقع اصلا « اصولی » در کار نبود زیرا که آنالیز قرن هفدهم برخلاف هندسه به روش تئوری و منطقی بنا نشده بود . 

همه ی شرح های اولیه ی فرآیند حساب دیفرانسیل و انتگرال مبهم و آمیخته با مشکلات بوده و درک آنها آسان نیست . بعضی از این شرح ها بر استدلال های نامعقول و اسرار آمیز استوار است . همانند این بیان یوهان برنولی که گفته است « هر کمیتی که به اندازه ی کمیت بینهایت کوچکی کاهش یا افزایش یابد ، نه کاهش می یابد و نه افزایش می یابد »

وقتی که نظریه یک عمل ریاضی به گونه ای ضعیف تفهیم گردد ، همواره این خطر وجود دارد که این عمل به گونه ای کورکورانه و شاید غیرمنطقی اعمال گردد . شخصی که از محدودیت های ممکن این عمل آگاه نیست ، عمل را احتمالا در مواردی به کار خواهد گرفت که لزوما قابل اعمال نخواهد بود . مدرسین ریاضی شاهد اشتباه کاری هایی از این دست هستند که به طور روزمره توسط شاگردانشان انجام می گیرد . مثلا یک دانشجوی جبر مقدماتی مصرانه تصور می کند که رابطه 1 = ^°a  برای هر عدد حقیقی برقرار است در نتیجه فرار می دهد : 1 = ^°o  !    و یا یک دانشجوی حساب دیفرانسیل و انتگرال که از انتگرال های توسعی آگاه نیست ، ممکن است با اعمال به ظاهر درست قواعد انتگرال گیری نتیجه های نادرستی به دست آورده یا اینکه ممکن است از راه به کار بستن یک سری نامتناهی که فقط دارای همگرایی مطلق است به نتیجه ای متناقض دست یابد . 

ریاضیدانهای قرن نوزدهم که تحت تاثیر کاربرد پذیری فوق العاده این موضوع قرار داشتند به واسطه خلاء ناشی از درک حقیقی مبانی این علم، تکنیک های آن را به طور کورکورانه ای به هر وضعیت به کار می گرفتند . از جمله کارهای ریاضیدان بزرگ سویسی لئونارد اویلر مثال مهمی از فرمول گرایی قرن هیجدهم در آنالیز می باشد . فرمول گرایی اویلر وی را در موقعیت هایی به  اشتباه کاری هایی  رهنمون می کرد . برای مثال ، هرگاه قضیه دوجمله ای را برای  ^1- ( 2-1 ) اعمال کنیم ، به دست می آوریم :                                                                                                                          ... + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1-  

نتیجه ای که باعث حیرت اویلر نگردید !

ریاضیدانهای قرن های هفدهم و هیجدهم اطلاع اندکی از سری های نامتناهی داشتند . در نتیجه این حوزه از ریاضیات پارادوکس های بسیاری را به وجود آورد . اگر سری :  

                                                 ... 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = S                 را در نظر بگیریم و جملات این ری را به طریقی گروه بندی کنیم ، به دست می آوریم :  

                                                   ... + ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) = S 

                                                                                          ...  +  S  =  o + o + o + o

 = S          o    

در حالی که هرگاه جملات را به طریق دیگری دسته بندی کنیم ، داریم :                                                                                               ... – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – 1 = S   

                                                                                                ... - 0 - 0 - 0 - 1 = S 

                                                                                                                     1 = S 

اولین پیشنهاد برای یک اصلاح واقعی وضع قانون ناموفق مبانی آنالیز از طرف دالامبر بود . او بسیار به جا تشخیص داد که به تئوری حدود نیاز است ( 1734 میلادی ) . اما توسعه ی صحیحی از این تئوری تا به سال 1821 مقدور نگشت . اولین ریاضیدانی که واقعا به منقی کردن حساب دیفرانسیل و انتگرال همت گذاشت ریاضیدان ایتالیایی جوزف لویز لاگرانژ بود . در قرن نوزدهم ساختار عالی تری از آنالیز بروز کرد که بر مبنای عمیق تری استوار بود . این کار بدون شک مدیون کارل فریدریش گاوس بود که بیشتر ازهر ریاضیدان قرن هیجدهم از شهود طحی و فرمول گرایی آنالیز گذشت و استانداردهای عالی منطقی جایگزین کرد .

پیرفت بزرگی در سال 1821 میلادی رخ داد و آن زمانی بود که ریاضیدان فرانسوی آگوست لویی کوی به ور موفقیت آمیزی پیشنهاد دالامبر را عملی کرده و یک تئوری قابل قبول برای حدود ابداع کرد و سپس مفاهیم مهمی چون پیوستگی ، مشتق پذیری و انتگرال معین را با استفاده از مفهوم حد تعریف کرد . آنگونه که امروزه ما در کتاب های حساب دیفرانسیل و انتگرال ملاحظه می کنیم .

مفهوم حد یقینا یکی از ضروری ترین مفاهیم برای گسترش آنالیز است . زیرا همگرایی و واگرایی سری ها نیز به این مفهوم وابسته است . کار منطقی کوشی دیگر ریاضیدانها را تهییج کرد که به او بپیوندند و آنالیز را از شهود گرایی سطحی و فرمول گرایی نجات دهند . ریاضیدان آلمانی کارل وایراشتراس در سال 1874 میلادی مثالی از یک تابع پیوسته نشان داد که فاقد مشتق بود . به عبارت دیگر منحنی که در هیچ یک از نقاط خود دارای مماس نبود . مثال وایراشتراس خیزش جدی علیه به کارگیری شهود هندسی در مطالعات آنالیز به شمار می رفت .

کم کم  نمایان شد که نظریه حد ، پیوستگی و مشتق پذیری بر ویژگی های اساسی تری از سیستم اعداد حقیقی بستگی دارند که قبل از این تصور نمی رفت . این پیوند وقتی بیشتر آشکار شد که ریمان دریافت که کوشی یک رط غیر ضروری را برای تعریف انتگرال معین فرض کرده است . ریمان ثابت کرد که انتگرال معین ، حتی وقتی که انتگرال ها ناپیوسته اند به عنوان حد حاصل جمع ها وجود دارد ( انتگرال های ناسره یا غیرحقیقی ) . همچنین ریمان تابعی تعریف کرد که برای همه ی مقادیر گنگ متغییر ، پیوسته و برای همه ی مقادیر گویای متغییر ، ناپیوسته است .

 مثال هایی از این دست به گونه ای فزاینده این امر را آشکار می کرد که در راه مبانی مستحکم آنالیز ، کوشی به قعر حقیقی مشکلات پی نبرده است . در ته هر چیزی هنوز ویژگی هایی از اعداد حقیقی قرار دارد که نیازمند درک بیشتری هستند . بنابراین وایراشتراس برنامه ای تهیه دید که در آن نخست خود سیستم اعداد حقیقی می بایست سامان می یافت ؛ سپس همه ی مفاهیم بنیادی آنالیز از این سیستم به دست می آمد . این برنامه مهم به « حسابی کردن آنالیز » مشهور است .